ベクトル空間であること．部分ベクトル空間であること．

下のような加法とスカラー倍をもつ $V$ がベクトル空間であることを示すこと

${\bf u},{\bf v},{\bf w}\in V$ 、$\alpha,\beta\in {\Bbb C}$ などとし、
${\bf u}+{\bf v}\in V$ かつ、$\alpha\cdot {\bf v}\in V$
であり、

VS1  $({\bf u}+{\bf v})+{\bf  w}={\bf u}+({\bf v}+{\bf w})$
VS2  ${\bf u}+{\bf  v}={\bf v}+{\bf u}$
VS3  ${\bf v}+{\bf  0}={\bf v}$ となる${\bf  0}$ が存在する．
VS4....

を示すこと．


ベクトル空間 $V$ の中の部分集合$W$ が部分ベクトル空間であることを示すこと．

任意の ${\bf v},{\bf w} \in W$ と $\alpha\in {\Bbb C}$ に対して、

1. ${\bf v}+{\bf w}\in W$　($V$の加法)
2. $\alpha\cdot {\bf v}\in W$　($V$のスカラー倍)

を示すこと．


今回のC問題ですが、

C-1-1
ベクトル空間であることを示す問題ですが、
部分ベクトル空間は再びベクトル空間ですから
$V$ が $P({\Bbb R})_3$ の部分ベクトル空間であることを示せばよいことになります．
（もちろん、ベクトル空間になるための性質VS1からVS8を示してもかまいません．）

$f,g\in P({\Bbb R})_3$ と $\alpha\in {\Bbb R}$ に対して
$f+g\in P({\Bbb R})_3$、$\alpha\cdot f\in P({\Bbb R})_3$
であることを示せばいいことになります．

$f+g\in P({\Bbb R})_3$、$\alpha\cdot f\in P({\Bbb R})_3$

であることは、

$P({\Bbb R})_3$の加法とスカラー倍は何を意味したか？（多項式の係数同士の足し算．）
$V$に入ることは何を意味するのか？（$V$ の2つの条件式）

C-1-2
この問題では、行列 $A$ を固定して考えてください．
$W_{a,b}$ が部分ベクトル空間になるには、
上の式 1. 2. から $a,b$ に条件式がでるはずです．
$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}$
と成分表示してもよいし、そうでなくてもでるはずです．

また、部分ベクトル空間であるためには、$V$ の ${\bf 0}$ を含んでいなければ
なりません．
つまり、数ベクトル空間でいう原点を通らなければならないのです．
これは部分ベクトル空間であるための大切な性質です．
これを使うともう少し早く示すことができますね．