[場所1E103（月曜日4限）]
HPに行く．
今日は、近傍系や、開基のあたりのプリントを配りました．
講義の方もその辺りの授業ではないかと思います．
少し体調が良くなかったせいもあり、プリントにいくつか不備がありました．
すいません．上のリンクでは直してあります．問題番号が気持ち悪い人は上のプリントを印刷してください．
近傍系とは
近傍とは、森田先生の教科書では、P43定義9.1に、
${\mathcal U}(x)$ は $x$ の近傍の集まりで、以下を満たすものとして
定義されています．
1. 任意の $U\in {\mathcal U}(x)$ は $x\in U$ を満たす．
2. $U,V\in {\mathcal U}(x)$ ならば、ある $U_3\in {\mathcal U}(x)$ が存在して、$U_3\subset U_1\cap U_2$ となる．
3 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、任意の $y\in U$ となるとき、$V\subset U$ なる $V\in {\mathcal U}(y)$ が存在する
この定義では、近傍の中に開近傍のようなものしか入らないことになります．
教科書に書かれているように、$x$ の近傍とは、$x$ を含むある開集合を含んでいる集合（つまり、$x$ が内点となるような集合のこと）ということもあると書いてあります．
つまり、閉近傍も近傍として含めることもあるということです．
一般的には、このような定義の方が多いような気がします．
近傍の集まりのことを近傍系といいます．
近傍基（基本近傍系）とは
近傍系の部分集合なのですが、その中に、いくらでも小さい近傍が含まれているというものです．近傍全体を持ってこなくても近傍を特徴づけられるということです．
ちゃんと定義を述べると、
${\mathcal U}(x)$ が $x$ の近傍系であるとする．${\mathcal V}(x)$ が近傍基であるとは、
任意の近傍 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、
$V\in {\mathcal V}(x)$ が存在して、$V\subset U$ となる．
開基とは
開集合全体がその位相空間を特徴づけていますが、その開集合全体を持ってこなくても、開集合全体を特徴づけられます．それが開基です．ベクトル空間は基底があればすべてのベクトルをかき下せるようなものです．英語でも (open) base を使います．
$\beta$ が $(X,{\mathcal O})$ の開基であるとは、$\beta$ は ${\mathcal O}$ の部分集合であり、任意の $U\in {\mathcal O}$ に対して、$\beta$ のいくつかの集合 $\{B_\lambda|\lambda\in \Lambda\}$ が存在して、
$$U=\cup_{\lambda\in \Lambda}B_\lambda$$
として表されることです．
例えば、${\mathbb R}$ の通常の位相のとき、${\mathcal O}$ には、すべての開集合が入っていますが、開基として、$\beta=\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}$ ととることができます．また、この $a,b$ として有理数のみ用いたものも開基とすることができます．さらに小さい開基というわけです．
準開基とは
任意の開基の元を幾つかの開集合の共通部分としてかくものです．
つまり、${\mathcal W}$ が位相空間 $(X,{\mathcal O})$ の準開基とは、それらのいくつかの共通部分を使って、${\mathcal O}$ のすべての開基の元を作っているものです．このようにすると、基本となる開集合の族がさらに小さくできます．
上の ${\mathbb R}$ の例では、${\mathcal W}=\{(a,\infty)|a\in {\mathbb R}\}\cup \{(-\infty,b)|b\in {\mathbb R}\}$ とすることができます．
${\mathcal W}\subset {\mathcal V}$ ですが、${\mathcal W}$ は通常の ${\mathbb R}$ の準開基となりますが、開基とはなりません．
今日は、近傍系や、開基のあたりのプリントを配りました．
講義の方もその辺りの授業ではないかと思います．
少し体調が良くなかったせいもあり、プリントにいくつか不備がありました．
すいません．上のリンクでは直してあります．問題番号が気持ち悪い人は上のプリントを印刷してください．
近傍系とは
近傍とは、森田先生の教科書では、P43定義9.1に、
${\mathcal U}(x)$ は $x$ の近傍の集まりで、以下を満たすものとして
定義されています．
1. 任意の $U\in {\mathcal U}(x)$ は $x\in U$ を満たす．
2. $U,V\in {\mathcal U}(x)$ ならば、ある $U_3\in {\mathcal U}(x)$ が存在して、$U_3\subset U_1\cap U_2$ となる．
3 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、任意の $y\in U$ となるとき、$V\subset U$ なる $V\in {\mathcal U}(y)$ が存在する
この定義では、近傍の中に開近傍のようなものしか入らないことになります．
教科書に書かれているように、$x$ の近傍とは、$x$ を含むある開集合を含んでいる集合（つまり、$x$ が内点となるような集合のこと）ということもあると書いてあります．
つまり、閉近傍も近傍として含めることもあるということです．
一般的には、このような定義の方が多いような気がします．
近傍の集まりのことを近傍系といいます．
近傍基（基本近傍系）とは
近傍系の部分集合なのですが、その中に、いくらでも小さい近傍が含まれているというものです．近傍全体を持ってこなくても近傍を特徴づけられるということです．
ちゃんと定義を述べると、
${\mathcal U}(x)$ が $x$ の近傍系であるとする．${\mathcal V}(x)$ が近傍基であるとは、
任意の近傍 $U\in {\mathcal U}(x)$ に対して、
$V\in {\mathcal V}(x)$ が存在して、$V\subset U$ となる．
開基とは
開集合全体がその位相空間を特徴づけていますが、その開集合全体を持ってこなくても、開集合全体を特徴づけられます．それが開基です．ベクトル空間は基底があればすべてのベクトルをかき下せるようなものです．英語でも (open) base を使います．
$\beta$ が $(X,{\mathcal O})$ の開基であるとは、$\beta$ は ${\mathcal O}$ の部分集合であり、任意の $U\in {\mathcal O}$ に対して、$\beta$ のいくつかの集合 $\{B_\lambda|\lambda\in \Lambda\}$ が存在して、
$$U=\cup_{\lambda\in \Lambda}B_\lambda$$
として表されることです．
例えば、${\mathbb R}$ の通常の位相のとき、${\mathcal O}$ には、すべての開集合が入っていますが、開基として、$\beta=\{(a,b)|a,b\in {\mathbb R}\}$ ととることができます．また、この $a,b$ として有理数のみ用いたものも開基とすることができます．さらに小さい開基というわけです．
準開基とは
任意の開基の元を幾つかの開集合の共通部分としてかくものです．
つまり、${\mathcal W}$ が位相空間 $(X,{\mathcal O})$ の準開基とは、それらのいくつかの共通部分を使って、${\mathcal O}$ のすべての開基の元を作っているものです．このようにすると、基本となる開集合の族がさらに小さくできます．
上の ${\mathbb R}$ の例では、${\mathcal W}=\{(a,\infty)|a\in {\mathbb R}\}\cup \{(-\infty,b)|b\in {\mathbb R}\}$ とすることができます．
${\mathcal W}\subset {\mathcal V}$ ですが、${\mathcal W}$ は通常の ${\mathbb R}$ の準開基となりますが、開基とはなりません．
位相を独学している高齢者です．
返信削除いつも有り難く拝見させていただいております．
質問させていただきます．
R 空間における準基から位相を生成する例について考えています．
準基として開区間を (1, 5),(3, 7) と定め，開基を {(φ, (3, 5), (1, 5), (3, 7), R }，位相を{(φ, (3, 5), (1, 5), (3, 7), (1, 7), R }，
とするようなことは可能なのでしょうか？
ご回答のご面倒をいただければ幸いです．
可能です．
削除そのように準基を定めておけば、記されているような位相が生成されます．
ご回答頂き，誠に有り難うございました．
削除お忙しくご活躍の日々にあり，社会的に重要なお仕事をされているので，ご回答をいただけることに半信半疑でした．
大変嬉しく光栄に存じております．
浅学非才，かつ衰え行く身を顧みず，位相という大海に新たな学びを求めました，
楽しみながらも苦闘しております．
また，質問させて頂ければ有り難く思います．
簡便な略解でも結構です．
温かいお力添えをいただければ幸いです．
先日はお忙しい中，ご指導を賜り，有り難うございました．
返信削除準基について，自力では解決できない疑問が生じてしまいましたので，あらためて質問させて頂きます．
Q:位相をO，Oの任意の開集合をUとする．また，準基をS⊂Oとし，Sの元をA_{λ}(λ= 1, 2, …, n)，開基をB⊂Oとし，Bの元をB'とする．このとき，準基を次のように定義する．
１．∀U∈O，∀x∈U，∃A_{λ}∈S：x∈∩_{λ＝１～n} A_{λ}⊂U
２．∀B'∈B，∀x∈B'，∃A_{λ}∈S：x∈∩_{λ＝１～n} A_{λ}⊂B'
1は位相Oの開集合Uを用いた定義，２は開基の元B'を用いた定義です．
この2つの記法は正しいと認められるでしょうか？
ご回答のお手数をいただければ幸いです．よろしくお願い致します．
まず、書かれている質問に対する回答ですが、質問内容の書き方が数学的に
削除少し曖昧な部分があり、少しこちらで質問の意図を推察してからお答えします．
ですので、もしかしたらご質問したいこととは違うかもしれません．
仰られたいことは
「開基 $B$ に対する準基の定義が以下の1、２のいずれであるか？」
ということでしょうか？
回答の前に、曖昧である点を２つだけ指摘しておきますと、
4行目に、仮定として準基Sをもってきているのに関わらず、その後に、準基(おそらくS)を再び定義している点、
開基に対して準基を定義しているのか？位相空間に対して準基を決めているのか？わからない点
です．
普通、位相空間 $X$ の開基 $B$ の準基 $S$ は次のように定義します．
$B$ の中の任意の開集合が、$S$ の有限個の元の共通部分によって作られるときに、$S$ は $B$ の準基と言います．
つまり、任意の $B’\in B$ に対して、ある、$S$ の元 $A_1,\cdots, A_n$ が存在して、
$$B’=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$$
となる．
ご質問の1. 2. のいずれも、この定義と一致しませんので、少なくとも、開基 $B$ に対して準基を定義したことにはなりません．
ただ、
1. と２. は位相空間の $X$ の何らかの開基に対する準基には成りえます．つまり、最初の $B$ を無視して、別の開基の準基とすることはできます．これは、位相空間に対する準基という言い方はできるかもしれません．先に選んだ $B$ とは別の開基になってしまいますが、それはそれで構わないというのであれば、この定義によって位相空間の準基を定義することはできます．
つまり、開基を $B$ とするのではなく、$S$ の有限個の共通部分からなる開集合の族を $T$ とするのです．$T$ は位相空間 $X$ の開基となり(1. 2. の条件はそれを保証
している)、$S$ はその準基となります．
場合によっては、$T$ は、$B$ と一致するかもしれませんが、一般には、$T$ と $B$ は一致しません．
2. の方は少しだけ、$B$ の条件を使っている分 $B$ に依存した準基という言い方はできるかもしれませんがやはり、$B$ とは違う開基の準基となる可能性は否定できません．
例えば、実数空間上の距離空間として、$(r,s)$ なる開区間で、$r,s$ が有理数となるものはこの距離空間の開基を $B$ とします．$S$ として、$(-\infty,a), (b,\infty)$ となるような半開区間とします．今、$a,b$ は無理数とします．このとき、$S$ は $B$ の開基とはなりませんが、実数空間の準基とはなりえます．そのときの開基 $T$ は、$(a,b)$ となる開区間の集まりです．ただし $a,b$ は無理数．
お忙しい中，ご丁寧なご誠意のこもったご回答を有り難うございました．
削除お礼の返事が遅れて申し訳ありませんでした．
気になっていたのですが，まとまった時間，落ち着いた時間が得られず，遅延してしまいました．
失礼を深くお詫び申し上げます．
また，浅学な初学者のため，不明瞭な，あるいは不適格な部分を多く含む内容や表現になってしまい，困惑やご面倒をおかけしてしまったことにつきましても心よりお詫び申し上げます．
さて，質問の中にある１の定義は，位相空間に対して定めたものです．
次の定義表現を論理式にしたつもりでした．
「任意の U∈O の任意のx∈U に対して，あるA_{λ}∈Sは x∈A_{λ}かつA_{λ}⊂U を満たす」
つまり，「O の任意の開集合Uの任意の元xは，準基Sのある元A_{λ}に属す」
特に，「集合と位相」（内田伏一著）p.82を参考にしました．
２の定義については，基本書のおよそ半分ほどで解説されている準基の定義を参考に，愚考を巡らし論理式化したものです．（現在，18冊ほどの基本書を手元に置き，交互に開いています．他に諸大学のPDFファイルや，先生のWebページなどを参考にさせて頂いております）
これは，次の定義表現を論理式化したつもりでした．
「任意の B'∈B の任意の x∈B'に対して，ある A_{λ}∈S は x∈A_{λ}かつ A_{λ}⊂B' を満たす」
つまり，「Bの任意の元B'の任意の元xは，準基Sのある元 A_{λ}に属す」
要するに，「開基Bの元B'のすべての元は，準基の有限個の元の共通部分である A１∩…∩An = ∩_{λ＝１～n} A_{λ} の元よりなる」ことを示すつもりでした．（先生の準基についてのご説明にも従うものと判断しました）
ただ，先生の教え示されているところを拝読すると，本来（一般的に，正統的に）Sの有限個の共通部分の全体を本来の開基とすべきところ，私の記した定義は 1.2共に，Sの有限個の共通部分の一部（本来の開基の部分集合族）を開基とする記法になっている（この場合，私の準基の位相に対する定義は一意対応とならない），と理解しましたが，正しいでしょうか？
なお，先生のご指摘された準基Sを2重に定義している点につきましては，これを避けるため，「準基をS⊂Oとし」の部分を「位相Oの部分集合（族）をSとし」とすれば，曖昧さの問題は避けられるでしょうか？
ご査収よろしくお願い致します．
誤り，不足などについて，ご指摘，ご教示を頂ける時間，ご面倒を賜ればなお幸いです．
> さて，質問の中にある１の定義は，位相空間に対して定めたものです．
削除> 次の定義表現を論理式にしたつもりでした．
> 「任意の U∈O の任意のx∈U に対して，あるA_{λ}∈Sは x∈A_{λ}かつA_{λ}⊂U を満たす」
> つまり，「O の任意の開集合Uの任意の元xは，準基Sのある元A_{λ}に属す」
> 特に，「集合と位相」（内田伏一著）p.82を参考にしました．
この定義1. はご存知の通り、「集合と位相」の準基の定義と同じですので、位相空間に対する準基となります．
ただ、
「任意の U∈O の任意のx∈U に対して，あるA_{λ}∈Sは x∈A_{λ}かつA_{λ}⊂U を満たす」
ではなく、
「任意の U∈O の任意のx∈U に対して，ある有限集合 $\{A_\lambda\}\subset S$ は $x\in \cap A_{λ}\subset U$ を満たす」
となります。
> これは，次の定義表現を論理式化したつもりでした．
> 「任意の B'∈B の任意の x∈B'に対して，ある A_{λ}∈S は x∈A_{λ}かつ A_{λ}⊂B' を満たす」
> つまり，「Bの任意の元B'の任意の元xは，準基Sのある元 A_{λ}に属す」
やりたいことは、まず、
「任意の B'∈B の任意の x∈B'に対して，ある A_{λ}∈S は x∈A_{λ}かつ A_{λ}⊂B' を満たす」
ではなく、
「任意の B'∈B の任意の x∈B'に対して，ある有限集合 $\{A_{\lambda}\}\subset S$ は $x\in A_{\lambda}$ かつ $\cap_{\lambda}A_{λ}\subset B’$ を満たす」
だと思います。
> 要するに，「開基Bの元B'のすべての元は，準基の有限個の元の共通部分である A１∩…∩An = ∩_{λ＝１～n} A_{λ} の元よりなる」ことを示すつもりでした．（先生の準基についてのご説明にも従うものと判断しました）
$A_1\cap \cdots \cap A_n=B’$ ということですね？
それだと正しいです。
> ただ，先生の教え示されているところを拝読すると，本来（一般的に，正統的に）Sの有限個の共通部分の全体を本来の開基とすべきところ，私の記した定義は 1.2共に，Sの有限個の共通部分の一部（本来の開基の部分集合族）を開基とする記法になっている（この場合，私の準基の位相に対する定義は一意対応とならない），と理解しましたが，正しいでしょうか？
書かれている条件が、
$A_1\cap \cdots \cap A_n\subset B’$
となっていたので、指定した開基の準基であるなら、
$A_1\cap \cdots \cap A_n=B’$
ではないか？ということです。
> なお，先生のご指摘された準基Sを2重に定義している点につきましては，これを避けるため，「準基をS⊂Oとし」の部分を「位相Oの部分集合（族）をSとし」とすれば，曖昧さの問題は避けられるでしょうか？
避けられると思います。
お忙しい中，ご丁寧なご回答を有り難うございました．
返信削除お礼，感謝の返信が遅れましたことをお詫び申し上げます．
先生のご誠意あるご回答で，準基，開基に対する理解が大きく前進致しました．
まだ，十分に消化しているとは言い難い部分を残しますが，極力自力で頑張ってみようと思います．
高齢な初学者故に，基本的な勘違いや誤記に類いするような部分を含んでいることに対しまして，心よりお詫び申し上げます．
さて，位相空間における位相，開基，準基の関係を先生のご説明を元に下記の例に具体化してみました．
先生のご説明に対する理解が不十分なために，誤りとなる部分が含まれていましたら，ご指摘，ご教示のほどをよろしくお願い申し上げます．
忙中寸暇をいただけたら幸いです．
X={a,b,c,d} のとき，位相空間 (X, O) における，位相Oと開基B を次のように定めたとする．
O={φ, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,d}, {a,b,c}, {b,c,d}, X}．
B={φ, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,d}, X}．
このとき，準基を S={{a,b}, {b,c}, {c,d}}，あるいは S ={{b}, {a,b}, {b,c}, {c,d}} などと定めると，その開基はB に等しい．
しかし， 準基を S1={{a,b}, {b,c}, {c,d}, {a,b,c}} などと定めると，その開基はB1={φ, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,d}, {a,b,c}, X} となって，B1≠B．
また，準基を S2={{b}, {a,b}, {c,d}, {a,b,c}} などと定めると，その開基はB2 ={φ, {b}, {c}, {a,b}, {c,d}, {a,b,c}, X} となって，B2≠B．
結局，準基に対する開基，開基に対する位相，準基に対する位相は１つに定まる（一意対応する）が，位相に対する開基，開基に対する準基，位相に対する準基は1つに定まらないと理解しましたが，それで問題ないでしょうか？．
おっしゃる通りで間違いないです．
削除S, S1から定まる開基はBとなりますが、S2から定まる開基はBにはなりませんね.
ただ、S, S1, S2から定まる位相は皆Oで同じということで、位相、開基、準開基の定義を理解する上でとても良い例だと思います．
特に、ある準基から開基を定めたとき、準基の集合はその開基の部分集合になっていないといけません．
お書きのように、開基を定めておけば、すべての開集合を作ることができて、位相がただ一つ定まります．また、準開基を決めておけば、開基を一つ定めることができるので、
開集合(位相)、開基、準開基
の順に、その位相空間の特徴を捉えるような位相空間の基本的なパーツということになります．
お忙しい中，ご回答のご面倒を誠に有り難うございました．
削除お伺いした，準基，開基，位相の関係の例に問題ないとのこと，安心しました．
また，肯定的なご評価を頂き，大変嬉しく，大いなる励みとなりました．
さて，新たに疑問が生じましたので．厚かましさを承知で質問させて頂きます．
連続写像について質問なので，先生の最も連続写像に関すると思われるWEBページ「トポロジー入門演習(第10回) (ヒント集5) 」の投稿欄に記入させて頂きます．