微積分I演習(数学類)(第14回)

[場所1E103（水曜日4限）]

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今回は、微積分I演習の総復習を行い、特に新しいことはやりませんでした。
これまでの微積分I演習の内容は、

• 数列の収束
• 三角関数・逆三角関数・双曲線関数・逆双曲線関数
• 上限
• 微分・ランダウの記号
• 高次導関数
• 関数の極限(ロピタルの定理)
• マクローリン展開・テイラー展開
• テイラー展開を用いた関数の極限
• べき級数展開
• 剰余項
• 部分分数展開と有理関数の積分
• 無理関数の積分
• 広義積分(収束発散と求め方)
• ガンマ関数・ベータ関数

でした。8/2に試験(もう今日ですが)をします。

これらの中の話題を計算問題中心に出す予定です。

最後に、定積分を一つ計算しておきます。

$$\int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{x+\sqrt{1-x}}}$$

です。

これは鉄則どうり、$t=\sqrt{1-x}$ と置きます。このとき、$x=1-t^2$ なので、$dx=-2tdt$ であり、求める積分は、

$$\int_1^0\frac{1-t^2}{\sqrt{1-t^2+t}}(-2t)dt=\int_0^1\frac{2t-2t^3}{\sqrt{1+t-t^2}}dt$$

ここで、$s=\frac{2t-1}{\sqrt{5}}$とおくと

$$\frac{1}{2\sqrt{5}}\int_{-\frac{1}{\sqrt{5}}}^{\frac{1}{\sqrt{5}}}\frac{(3+\sqrt{5}s)(1-5s^2)}{\sqrt{1-s^2}}\frac{\sqrt{5}}{2}ds$$

また、$s=\sin \theta$ とおき、$a=\text{Arcsin} \frac{1}{\sqrt{5}}$ とおくと、

$$=\frac{1}{4}\int_{-a}^{a}(3+\sqrt{5}\sin \theta)(1-5\sin^2\theta)d\theta$$

$$=\frac{3}{4}\int_{-a}^{a}(1-5\sin^2\theta)d\theta$$

最後の等式は積分区間が原点で対称なので、奇関数の部分 $\sin^3\theta,\sin\theta$ の部分

を除いた。

よって、これを積分してやると、

$$\int_0^1\frac{xdx}{\sqrt{x+\sqrt{1-x}}}=\frac{1}{4}\left(6-9\text{Arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)$$

となります。