[場所1E102（水曜日4限）]
$(x,y)$ を$(x,y)=(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)$ のように極座標表示を
すると、ある点 $(x,y)=(a,b)$ に収束するすべての道は、
定義
ある関数 $f(x,y),h(x,y)$ が $\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)/h(x,y)=0$ となるとき、
$$f(x,y)=o(h(x,y))\ \ (x,y)\to (a,b)$$
とかく．
今日は、
- ２変数関数の連続性
- ランダウの記号
についてやりました。
２変数関数の連続性
関数が連続であることは、極限値が一致すること、
$$\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$$
であることが必要十分ですが、今日やったことは、左辺が存在することを示す方法です．
$\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ が存在する、つまり、 $(x,y)\to (a,b)$ のときに、
$f(x,y)$ が収束するということは、$(x,y)$ から、$(a,b)$ に近づくあらゆる道
に関して、$f(x,y)$ が収束するということになります．
収束性の証明方法の例として、授業でやった同じ(例1)をもう一度書いておきます．
$(x,y)$ を$(x,y)=(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)$ のように極座標表示を
すると、ある点 $(x,y)=(a,b)$ に収束するすべての道は、
$r\to0$ が成り立ちます．
このようにして、$(x,y)$ が $(a,b)$ に近づくとき、
$0$ に収束するような $r$ に関する極限の問題にすり替えられるのです．
このようにして、$(x,y)$ が $(a,b)$ に近づくとき、
$0$ に収束するような $r$ に関する極限の問題にすり替えられるのです．
（例１）[収束することの証明]
(証明)
$f(x,y)=\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}$ とする．$x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$ とする．
このとき、
$|f(x,y)|\le\frac{|r^2\cos\theta\sin\theta|(r|\cos\theta|+r|\sin\theta|)}{r^2}=r|\cos\theta\sin\theta|(|\cos\theta|+|\sin\theta|)\le 2r$
となる．よって、$2r\to 0$ なので、挟み撃ちの原理から、
$(x,y)\to (0,0)$ のとき、$\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}\to 0$ となる．
よって、$\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}$ は原点で極限値 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}=0$ をもつ．（証明終了）
よって、$\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}$ は原点で極限値 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy(|x|+|y|)}{x^2+y^2}=0$ をもつ．（証明終了）
最初の不等式は、三角不等式を用い、最後の不等式は、$|\cos\theta|\le 1$ や $|\sin \theta|\le 1$ を使っています．
全ての道に対してある一定の値に収束することを示すことで、関数
が極限値を持つことが示されました．
一方、収束しないことを示すには、このことを否定すればよく、
ある道を取ると収束しないことを示すか、収束先が一致しないことを示せば良いわけです．
が極限値を持つことが示されました．
一方、収束しないことを示すには、このことを否定すればよく、
ある道を取ると収束しないことを示すか、収束先が一致しないことを示せば良いわけです．
下の例では、収束先が一致しないような道が取れることを示します．
（例２）[収束しないことの証明]
(証明)
$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$ とする．
$(x,y)=(t,0)$ なる道をとると、
$f(t,0)=0$ であり、
$(x,y)=(t,t)$ なる道をとると、
$f(t,t)=\frac{t^2}{t^2+t^2}=\frac{1}{2}$ となる．
よって、原点 $(0,0)$ に収束する2つの異なる道に対して収束先が一致しないので、
この関数は $(0,0)$ で極限値をもたない．(証明終了)
この関数は $(0,0)$ で極限値をもたない．(証明終了)
例題2-1
授業でもやったように、収束を示しなさい、もしくは、
収束しないことを示しなさいという問題ではなく、
収束しないことを示しなさいという問題ではなく、
近づき方（角度 $\theta$ ）によってどのような値に近づくかということです．
要は、$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ の値を計算しなさいという問題です．
例題2-2
(1-b) について．
授業の途中で
$$\frac{x^5+y^6}{x^2+y^4}$$
の原点での収束性について、うやむやになってしまったのでここで書いておきます．
$$\frac{x^5+y^6}{x^2+y^4}$$
の原点での収束性について、うやむやになってしまったのでここで書いておきます．
(証明)
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ とする．
$x^2+y^4=r^4\sin^4\theta+r^2\cos^2\theta=r^4\sin^4\theta+r^2(1-\sin^2\theta)$
ここで、$\sin^2\theta=t$ とする．
$x^2+y^4=r^4t^2-r^2t+r^2=r^4(t-\frac{1}{2r^2})^2-\frac{1}{4}+r^2\ \ \ \ \ (\ast)$
ここで、$r$ を $0$ に収束するとき．$r$ を十分 $0$ に近い正の数とする．
特に、$\frac{1}{2r^2}>1$ が成り立つとする．
$0\le t\le 1$ であることに注意すると、このとき、$(\ast)$ は、$t=1$ のとき最小であるので、
このとき、
$x^2+y^4\ge r^4$ となる．また、
$|x^6+y^5|\le r^5|r\cos^6\theta+\sin^5\theta|\le r^5(r+1)$ となる．
よって、これらの不等式を合わせることで、
$\Big|\frac{x^6+y^5}{x^2+y^4}\Big|\le \frac{r^5(r+1)}{r^4}=r(r+1)\to 0$ ($r\to 0$)
がいえ、よって、$f(x,y)\to 0$ がいえる．（証明終了）
(別解)
授業中回ったときに解いていた学生の答えはこうでした．黒板にも書きました．
（証明）
$$\Big|\frac{x^6+y^5}{x^2+y^4}\Big|\le \frac{x^2}{x^2+y^4}|x^4|+\frac{y^4}{x^2+y^4}|y^2|\le |x^4|+|y^2|\ \ \ \ (\ast\ast)$$
このときに、同じように $(x,y)$ の極座標表示をしても良いですが、
$(x,y)\to (0,0)$ の時、それぞれ、$x\to 0$, $y\to 0$ となるとき、
$x\to 0$ かつ $y\to 0$ となるので、
この $(\ast\ast)$ は $0$ に収束する．（証明終了）
(2-a) についてやっておきます．
$\frac{xy\sin(x^2y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}$
この時、積の２つめは1に収束しますので、$\frac{x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}$ を $0$ に収束することを
示す．この最後の収束性は、上と同じなのでここでは省略します．
(2-b) について．
$\frac{\log\cos(xy)}{x^2+y^2}$ についても、上のようにすれば良いですが、
その前に、一変数の極限について考察が要ります．
$\frac{\log\cos(x)}{x^2}=-\frac{1}{2}$ ということを証明してください．
その後は、上の(2-a)と同じようにして、
$\frac{\log\cos(xy)}{x^2+y^2}\to 0$ が証明できると思います．
ランダウの記号
ある関数 $f(x,y),h(x,y)$ が $\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)/h(x,y)=0$ となるとき、
$$f(x,y)=o(h(x,y))\ \ (x,y)\to (a,b)$$
とかく．
これを用いて、問題2-2を考えて下さい．また、わからないという人がいましたら、下に
何か書くかもしれません．
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