微積分II演習(化学類)(第7回)

[場所1E102（水曜日4限）]

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今回の演習は積分に入りました。

今回は、四角形領域と三角形領域だけ扱いました．

$D=[a,b]\times [c,d]$ を平面上の $a\le x\le  b$ かつ $c\le y\le d$ を満たす領域とします．
このとき、
$$\int\int_Df(x,y)dxdy$$
は、$\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy$ と逐次積分(累次積分)として計算されます．
これが四角形上の積分です．
例えば、
$f(x,y)=xy$ とすると、$D=[0.1]\times [0,1]$
$\int\int_Dxydxdy=\int_0^1\left(\int_0^1xydx\right)dy=\int_0^1\left[\frac{x^2y}{2}\right]_0^1dy=\int_0^1\frac{y}{2}dy=\left[\frac{y^2}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}$
などと計算します．

変数変換の公式

重積分の変数変換の公式とは、一変数の置換積分をしていることと同じです．
まず、${\mathbb R}^2$ 上の領域 $D$ の積分に対して、その積分を、$(u,v)$-平面の積分に変換する方法です．$x=\varphi(u,v), y=\psi(u,v)$ なる一対一写像あるとします．
このとき、$(u,v)$-平面の領域 $E$ が領域 $D$ に移るとします．

また、ヤコビアン $\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}$ を $\begin{pmatrix}\varphi_u&\varphi_v\\\psi_u&\psi_v\end{pmatrix}$ の行列式として定義します．

そうすると、$D$ 上の関数 $f(x,y)$ の重積分は、
$\int\int_Df(x,y)dxdy$ は
$$\int\int_Ef(\varphi(u,v),\psi(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv$$
と変数変換されます．ここで、絶対値が付いていることに注意してください．

例えば、
$f(x,y)=x^2+y^2$ で、
$|x+y|\le 2, |x-y|\le 2$ を満たす領域を $D$ とする．
このとき、$x=u+v, y=-u+v$ とすると、
$|v|\le 1$ かつ、$|u|\le 1$ になります．
ここで、ヤコビ行列は、
$\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$ の行列式であり、$2$ となります．
また、$x^2+y^2=(u+v)^2+(-u+v)^2=2u^2+2v^2=2(u^2+v^2)$ となります．

よって、$\int\int_D(x^2+y^2)dxdy=\int\int_{|u|\le 1,|v|\le 1}2(u^2+v^2)2dudv=4\int_{-1}^1\left(\int_{-1}^1(u^2+v^2)du\right)dv=4\int_{-1}^1\left[\frac{u^3}{3}+uv^2\right]_{-1}^1dv=4\int_{-1}^1\left(\frac{2}{3}+2v^2\right)dv=8\left[\frac{v}{3}+\frac{v^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{32}{3}$
と計算されます．

積分の順序交換
積分の順序は交換することができます．
例えば、$(0,0),(a,0),(0,b)$ を頂点とする三角形を $D$ とする．
$\int\int_Df(x,y)dxdy=\int_0^b\left(\int_0^{a-\frac{a}{b}y}f(x,y)dx\right)dy=\int_0^a\left(\int_0^{b-\frac{b}{a}x}f(x,y)dy\right)dx$

$\int_0^b\left(\int_0^{a-\frac{a}{b}y}x^2ydx\right)dy=\int_0^b\left[\frac{x^3y}{3}\right]_0^{a-\frac{a}{b}y}dy=\int_0^b(a-\frac{a}{b}y)^3\frac{y}{3}dy=\frac{1}{12}\left(-\frac{b}{a}\left[(a-\frac{a}{b}y)^4y\right]_0^b+\frac{b}{a}\int_0^b(a-\frac{a}{b}y)^4dy\right)=\frac{b}{12a}\int_0^b(a-\frac{a}{b}y)^4dy=\frac{b}{12a}\left[-\frac{b}{5a}(a-\frac{a}{b}y)^5\right]_0^b=\frac{b^2}{60a^2}a^5=\frac{a^3b^2}{60}$
$\int_0^a\left(\int_0^{b-\frac{b}{a}x}x^2ydy\right)dx=\int_0^a\left[\frac{x^2y^2}{2}\right]_0^{b-\frac{b}{a}x}dx=\int_0^ax^2\frac{(b-\frac{b}{a}x)^2}{2}dx=\frac{1}{2}\int_0^a(b^2x^2-\frac{2b^2}{a}x^3+\frac{b^2}{a^2}x^4)dx=\frac{1}{2}\left[b^2\frac{x^3}{3}-\frac{2b^2}{a}\frac{x^4}{4}+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^5}{5}\right]_0^a=\frac{1}{60}a^3b^2$